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　　《幾何原本》讀后感3000字：

　　公理化結(jié)構(gòu)是近代數(shù)學(xué)的主要特征。而《原本》是完成公理化結(jié)構(gòu)的最早典范，它產(chǎn)生于兩千多年前，這是難能可貴的。不過(guò)用現(xiàn)代的標(biāo)準(zhǔn)去衡量，也有不少缺點(diǎn)。首先，一個(gè)公理系統(tǒng)都有若干原始概念，或稱不定義概念，作為其他概念定義的基礎(chǔ)。點(diǎn)、線、面就屬于這一類。而在《原本》中一一給出定義，這些定義本身就是含混不清的。其次是公理系統(tǒng)不完備，沒(méi)有運(yùn)動(dòng)、順序、連續(xù)性等公理，所以許多證明不得不借助于直觀。此外，有的公理不是獨(dú)立的，即可以由別的公理推出。這些缺陷直到1899年希爾伯特（Hilbert）的《幾何基礎(chǔ)》出版才得到了補(bǔ)救。盡管如此，畢竟瑕不掩瑜，《原本》開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化的正確道路，對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，超過(guò)了歷史上任何其他著作。

　　《原本》的兩個(gè)理論支柱--比例論和窮竭法。為了論述相似形的理論，歐幾里得安排了比例論，引用了歐多克索斯的比例論。這個(gè)理論是無(wú)比的成功，它避開(kāi)了無(wú)理數(shù)，而建立了可公度與不可公度的正確的比例論，因而順利地建立了相似形的理論。在幾何發(fā)展的歷史上，解決曲邊圍成的面積和曲面圍成的體積等問(wèn)題，一直是人們關(guān)注的重要課題。這也是微積分最初涉及的問(wèn)題。它的解決依賴于極限理論，這已是17世紀(jì)的事了。然而在古希臘于公元前三四世紀(jì)對(duì)一些重要的面積、體積問(wèn)題的證明卻沒(méi)有明顯的極限過(guò)程，他們解決這些問(wèn)題的理念和方法是如此的超前，并且深刻地影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展。

　　化圓為方問(wèn)題是古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯提出的，后來(lái)以“窮竭法”而得名的方法。“窮竭法”的依據(jù)是阿基米得公理和反證法。在《幾何原本》中歐幾里得利用“窮竭法”證明了許多命題，如圓與圓的面積之比等于直徑平方比。兩球體積之比等于它們的直徑的立方比。阿基米德應(yīng)用“窮竭法”更加熟練，而且技巧很高。并且用它解決了一批重要的面積和體積命題。當(dāng)然，利用“窮竭法”證明命題，首先要知道命題的結(jié)論，而結(jié)論往往是由推測(cè)、判斷等確定的。阿基米德在此做了重要的工作，他在《方法》一文中闡述了發(fā)現(xiàn)結(jié)論的一般方法，這實(shí)際又包含了積分的思想。他在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)，奠定了他在數(shù)學(xué)史上的突出地位。

　　作圖問(wèn)題的研究與終結(jié)。歐幾里得在《原本》中談了正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正十五邊形的作圖，未提及其他正多邊形的作法。可見(jiàn)他已嘗試著作過(guò)其他正多邊形，碰到了“不能”作出的情形。但當(dāng)時(shí)還無(wú)法判斷真正的“不能作”，還是暫時(shí)找不到作圖方法。

　　高斯并未滿足于尋求個(gè)別正多邊形的作圖方法，他希望能找到一種判別準(zhǔn)則，哪些正多邊形用直尺和圓規(guī)可以作出、哪些正多邊形不能作出。也就是說(shuō)，他已經(jīng)意識(shí)到直尺和圓規(guī)的“效能”不是萬(wàn)能的，可能對(duì)某些正多邊形不能作出，而不是人們找不到作圖方法。1801年，他發(fā)現(xiàn)了新的研究結(jié)果，讀后感這個(gè)結(jié)果可以判斷一個(gè)正多邊形“能作”或“不能作”的準(zhǔn)則。判斷這個(gè)問(wèn)題是否可作，首先把問(wèn)題化為代數(shù)方程。然后，用代數(shù)方法來(lái)判斷。判斷的準(zhǔn)則是：“對(duì)一個(gè)幾何量用直尺和圓規(guī)能作出的充分必要條件是：這個(gè)幾何量所對(duì)應(yīng)的數(shù)能由已知量所對(duì)應(yīng)的數(shù)，經(jīng)有限次的加、減、乘、除及開(kāi)平方而得到。”（圓周率不可能如此得到，它是超越數(shù)，還有e、劉維爾數(shù)都是超越數(shù)，我們知道，實(shí)數(shù)是不可數(shù)的，實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，其中有理數(shù)和一部分無(wú)理數(shù)，比如根號(hào)2，是代數(shù)數(shù)，而代數(shù)數(shù)是可數(shù)的，因此實(shí)數(shù)中不可數(shù)是因?yàn)槌綌?shù)的存在。雖然超越數(shù)比較多，但要判定一個(gè)數(shù)是否為超越數(shù)卻不是那么的簡(jiǎn)單。）至此，“三大難題”即“化圓為方、三等分角、二倍立方體”問(wèn)題是用尺規(guī)不能作出的作圖題。正十七邊形可作，但其作法不易給出。高斯（Gauss）在1796年，19歲時(shí)，給出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并作了詳盡的討論。為了表彰他的這一發(fā)現(xiàn)，他去世后，在他的故鄉(xiāng)不倫瑞克建立的紀(jì)念碑上面刻了一個(gè)正十七邊形。

　　幾何中連續(xù)公理的引入。由歐氏公設(shè)、公理不能推出作圖題中“交點(diǎn)”存在。因?yàn)椋渲袥](méi)有連續(xù)性（公理）概念。這就需要給歐氏的公理系統(tǒng)中添加新的公理--連續(xù)性公理。雖然19世紀(jì)之前費(fèi)馬與笛卡爾已經(jīng)發(fā)現(xiàn)解析幾何，代數(shù)有了長(zhǎng)驅(qū)直入的進(jìn)展，微積分進(jìn)入了大學(xué)課堂，拓?fù)鋵W(xué)和射影幾何已經(jīng)出現(xiàn)。但是，數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)系理論基礎(chǔ)仍然是模糊的，沒(méi)有引起重視。直觀地承認(rèn)了實(shí)數(shù)與直線上的點(diǎn)都是連續(xù)的，且一一對(duì)應(yīng)。直到19世紀(jì)末葉才完滿地解決了這一重大問(wèn)題。從事這一工作的學(xué)者有康托（Cantor）、戴德金（Dedekind）、皮亞諾（Peano）、希爾伯特（Hilbert）等人。當(dāng)時(shí)，康托希望用基本序列建立實(shí)數(shù)理論，代德金也深入地研究了無(wú)理數(shù)理念，他的一篇論文發(fā)表在1872年。在此之前的1858年，他給學(xué)生開(kāi)設(shè)微積分時(shí)，知道實(shí)數(shù)系還沒(méi)有邏輯基礎(chǔ)的保證。因此，當(dāng)他要證明“單調(diào)遞增有界變量序列趨向于一個(gè)極限”時(shí)，只得借助于幾何的直觀性。實(shí)際上，“直線上全體點(diǎn)是連續(xù)統(tǒng)”也是沒(méi)有邏輯基礎(chǔ)的。更沒(méi)有明確全體實(shí)數(shù)和直線全體點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)這一重大關(guān)系。如，數(shù)學(xué)家波爾查奴（Bolzano）把兩個(gè)數(shù)之間至少存在一個(gè)數(shù)，認(rèn)為是數(shù)的連續(xù)性。實(shí)際上，這是誤解。因?yàn)椋魏蝺蓚�(gè)有理數(shù)之間一定能求到一個(gè)有理數(shù)。但是，有理數(shù)并不是數(shù)的全體。有了戴德金分割之后，人們認(rèn)識(shí)至波爾查奴的說(shuō)法只是數(shù)的稠密性，而不是連續(xù)性。由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)。直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)。

　　《原本》還研究了其它許多問(wèn)題，如求兩數(shù)（可推廣至任意有限數(shù)）最大公因數(shù)，數(shù)論中的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)無(wú)窮多等。

　　在高等數(shù)學(xué)中，有正交的概念，最早的概念起源應(yīng)該是畢達(dá)哥拉斯定理，我們稱之為勾股定理，只是勾3股4弦5是一種特例，而畢氏定理對(duì)任意直角三角形都成立。并由畢氏定理，發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)根號(hào)2。在數(shù)學(xué)方法上初步涉及演繹法，又在證明命題時(shí)用了歸謬法（即反證法）。可能由于受丟番圖（Diophantus）對(duì)一個(gè)平方數(shù)分成兩個(gè)平方數(shù)整數(shù)解的啟發(fā)，350多年前，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出了著名的費(fèi)馬大定理，吸引了歷代數(shù)學(xué)家為它的證明付出了巨大的努力，有力地推動(dòng)了數(shù)論用至整個(gè)數(shù)學(xué)的進(jìn)步。1994年，這一曠世難題被英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯威樂(lè)斯解決。

　　多少年來(lái)，千千萬(wàn)萬(wàn)人（著名的有牛頓（Newton）、阿基米德（Archimedes）等）通過(guò)歐幾里得幾何的學(xué)習(xí)受到了邏輯的訓(xùn)練，從而邁入科學(xué)的殿堂。