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　　《幾何原本》讀后感3000字：

　　公理化結構是近代數學的主要特征。而《原本》是完成公理化結構的最早典范，它產生于兩千多年前，這是難能可貴的。不過用現代的標準去衡量，也有不少缺點。首先，一個公理系統都有若干原始概念，或稱不定義概念，作為其他概念定義的基礎。點、線、面就屬于這一類。而在《原本》中一一給出定義，這些定義本身就是含混不清的。其次是公理系統不完備，沒有運動、順序、連續性等公理，所以許多證明不得不借助于直觀。此外，有的公理不是獨立的，即可以由別的公理推出。這些缺陷直到1899年希爾伯特（Hilbert）的《幾何基礎》出版才得到了補救。盡管如此，畢竟瑕不掩瑜，《原本》開創了數學公理化的正確道路，對整個數學發展的影響，超過了歷史上任何其他著作。

　　《原本》的兩個理論支柱--比例論和窮竭法。為了論述相似形的理論，歐幾里得安排了比例論，引用了歐多克索斯的比例論。這個理論是無比的成功，它避開了無理數，而建立了可公度與不可公度的正確的比例論，因而順利地建立了相似形的理論。在幾何發展的歷史上，解決曲邊圍成的面積和曲面圍成的體積等問題，一直是人們關注的重要課題。這也是微積分最初涉及的問題。它的解決依賴于極限理論，這已是17世紀的事了。然而在古希臘于公元前三四世紀對一些重要的面積、體積問題的證明卻沒有明顯的極限過程，他們解決這些問題的理念和方法是如此的超前，并且深刻地影響著數學的發展。

　　化圓為方問題是古希臘數學家歐多克索斯提出的，后來以“窮竭法”而得名的方法。“窮竭法”的依據是阿基米得公理和反證法。在《幾何原本》中歐幾里得利用“窮竭法”證明了許多命題，如圓與圓的面積之比等于直徑平方比。兩球體積之比等于它們的直徑的立方比。阿基米德應用“窮竭法”更加熟練，而且技巧很高。并且用它解決了一批重要的面積和體積命題。當然，利用“窮竭法”證明命題，首先要知道命題的結論，而結論往往是由推測、判斷等確定的。阿基米德在此做了重要的工作，他在《方法》一文中闡述了發現結論的一般方法，這實際又包含了積分的思想。他在數學上的貢獻，奠定了他在數學史上的突出地位。

　　作圖問題的研究與終結。歐幾里得在《原本》中談了正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正十五邊形的作圖，未提及其他正多邊形的作法。可見他已嘗試著作過其他正多邊形，碰到了“不能”作出的情形。但當時還無法判斷真正的“不能作”，還是暫時找不到作圖方法。

　　高斯并未滿足于尋求個別正多邊形的作圖方法，他希望能找到一種判別準則，哪些正多邊形用直尺和圓規可以作出、哪些正多邊形不能作出。也就是說，他已經意識到直尺和圓規的“效能”不是萬能的，可能對某些正多邊形不能作出，而不是人們找不到作圖方法。1801年，他發現了新的研究結果，讀后感這個結果可以判斷一個正多邊形“能作”或“不能作”的準則。判斷這個問題是否可作，首先把問題化為代數方程。然后，用代數方法來判斷。判斷的準則是：“對一個幾何量用直尺和圓規能作出的充分必要條件是：這個幾何量所對應的數能由已知量所對應的數，經有限次的加、減、乘、除及開平方而得到。”（圓周率不可能如此得到，它是超越數，還有e、劉維爾數都是超越數，我們知道，實數是不可數的，實數分為有理數和無理數，其中有理數和一部分無理數，比如根號2，是代數數，而代數數是可數的，因此實數中不可數是因為超越數的存在。雖然超越數比較多，但要判定一個數是否為超越數卻不是那么的簡單。）至此，“三大難題”即“化圓為方、三等分角、二倍立方體”問題是用尺規不能作出的作圖題。正十七邊形可作，但其作法不易給出。高斯（Gauss）在1796年，19歲時，給出了正十七邊形的尺規作圖法，并作了詳盡的討論。為了表彰他的這一發現，他去世后，在他的故鄉不倫瑞克建立的紀念碑上面刻了一個正十七邊形。

　　幾何中連續公理的引入。由歐氏公設、公理不能推出作圖題中“交點”存在。因為，其中沒有連續性（公理）概念。這就需要給歐氏的公理系統中添加新的公理--連續性公理。雖然19世紀之前費馬與笛卡爾已經發現解析幾何，代數有了長驅直入的進展，微積分進入了大學課堂，拓撲學和射影幾何已經出現。但是，數學家對數系理論基礎仍然是模糊的，沒有引起重視。直觀地承認了實數與直線上的點都是連續的，且一一對應。直到19世紀末葉才完滿地解決了這一重大問題。從事這一工作的學者有康托（Cantor）、戴德金（Dedekind）、皮亞諾（Peano）、希爾伯特（Hilbert）等人。當時，康托希望用基本序列建立實數理論，代德金也深入地研究了無理數理念，他的一篇論文發表在1872年。在此之前的1858年，他給學生開設微積分時，知道實數系還沒有邏輯基礎的保證。因此，當他要證明“單調遞增有界變量序列趨向于一個極限”時，只得借助于幾何的直觀性。實際上，“直線上全體點是連續統”也是沒有邏輯基礎的。更沒有明確全體實數和直線全體點是一一對應這一重大關系。如，數學家波爾查奴（Bolzano）把兩個數之間至少存在一個數，認為是數的連續性。實際上，這是誤解。因為，任何兩個有理數之間一定能求到一個有理數。但是，有理數并不是數的全體。有了戴德金分割之后，人們認識至波爾查奴的說法只是數的稠密性，而不是連續性。由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。

　　《原本》還研究了其它許多問題，如求兩數（可推廣至任意有限數）最大公因數，數論中的素數的個數無窮多等。

　　在高等數學中，有正交的概念，最早的概念起源應該是畢達哥拉斯定理，我們稱之為勾股定理，只是勾3股4弦5是一種特例，而畢氏定理對任意直角三角形都成立。并由畢氏定理，發現了無理數根號2。在數學方法上初步涉及演繹法，又在證明命題時用了歸謬法（即反證法）�？赡苡捎谑軄G番圖（Diophantus）對一個平方數分成兩個平方數整數解的啟發，350多年前，法國數學家費馬提出了著名的費馬大定理，吸引了歷代數學家為它的證明付出了巨大的努力，有力地推動了數論用至整個數學的進步。1994年，這一曠世難題被英國數學家安德魯威樂斯解決。

　　多少年來，千千萬萬人（著名的有牛頓（Newton）、阿基米德（Archimedes）等）通過歐幾里得幾何的學習受到了邏輯的訓練，從而邁入科學的殿堂。